Question

已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-1+log₂x．
（1）求當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的表達(dá)式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不要求證明）．

Answer 1

解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x-1
∴f（-x）=log₂（-x）-1，
又∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=1-log₂（-x）．
（2）：先畫出函數(shù)y=log₂x的圖象，再整體向下平移一個(gè)單位可得x＞0時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象；
再結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到x＜0時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象即可．
如圖：
結(jié)合圖象可得：其單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0），（0，+∞）．
分析：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，再由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂x-1求得f（-x）然后利用函數(shù)f（x）是奇函數(shù)得到f（x）．
（2）直接由圖象的變換規(guī)律可得x＞0時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象；再結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到x＜0時(shí)對(duì)應(yīng)的圖象即可；結(jié)合圖象可得其單調(diào)區(qū)間
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用奇偶性來(lái)求對(duì)稱區(qū)間上的解析式，一定要注意，求哪一個(gè)區(qū)間的解析式，要在哪個(gè)區(qū)間上取變量．