Question

【題目】（2016年蘇州B19）已知函數(shù)f(x)=x|x－a|，a∈R，g(x)=x2－1.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)；

（2）記函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為F(a)，求F(a)的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

【試題分析】（1）借助絕對值的定義討論當(dāng)x≥1和x<1兩種情形下兩個(gè)不等式的解集，最后求這兩個(gè)二次不等式的并集；（2）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用分類整合思想，對實(shí)數(shù)a≤0；0<a<2；a≥2分三種情形，分別求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的解析式，進(jìn)而求出其最大值F(a)，然后再運(yùn)用分段函數(shù)表示函數(shù)F(a)的解析式：

（1）解：f(x)≥g(x)，a=1時(shí)，即解不等式x|x－1|≥x2－1，

當(dāng)x≥1時(shí)，不等式為x2－x≥x2－1，解得x≤1，所以x＝1；

當(dāng)x<1時(shí)，不等式為x－x2≥x2－1，解得，

所以； 綜上， x∈.

（2）因?yàn)?/span>x∈[0，2]，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)=x2－ax，則f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，

所以F(a)=f(2)=4－2a；

當(dāng)0<a<2時(shí)，，則f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間[a，2]上是增函數(shù)，所以F(a)=max{f()，f(2)}，

而，f(2)=4－2a，令即，

解得，

所以當(dāng)時(shí)，F(a)= 4－2a；

令即，解得或，

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)=－x2＋ax，

當(dāng)即2≤a<4時(shí)，f(x)在間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；

當(dāng)，即a≥4時(shí)，f(x)在間[0，2]上是增函數(shù)，則；

所以， ，