Question

給出下列圖象其中可能為函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象的是________．

Answer 1

①③
分析：確定函數(shù)的圖象，可由函數(shù)單調(diào)性的可能情況確定函數(shù)圖象的形狀，故可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而推測(cè)出函數(shù)圖象的大致形狀得出可能的圖象是那幾個(gè)，從而得到答案
解答：∵f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）
∴f'（x）=4x³+3ax²+2bx+c
此函數(shù)相應(yīng)方程的根可能有三個(gè)或兩個(gè)或一個(gè)，
若方程可能的根有一個(gè)，如a，b，c都為0時(shí)，f'（x）=0的根只有一個(gè)，故函數(shù)值先負(fù)后正，故函數(shù)的圖象是先減后增，符合條件的只有①
若方程可能的根有兩個(gè)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)圖象必是先減后增再減型，與題意不符，
若方程的根有三個(gè)，則函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性是先減后增再減再增型，考察②③④得③符合條件
綜上討論知，①③中的圖象可能是函數(shù)的圖象，
故答案為①③
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是推測(cè)出函數(shù)圖象的性質(zhì)，由這些性質(zhì)得出函數(shù)的圖象的特征從而選出可能的圖象的序號(hào)，本題借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，比較抽象，有一定的難度