Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

9

2

x²+6x-a．
（1）對?x∈R，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，利用導(dǎo)數(shù)可得f′（x），再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出f′（x）的最小值；
（2）f′（x）=3（x-2）（x-1），令f′（x）=0，解得x=1，2．列出表格研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值，函數(shù)f（x）有且僅有一個零點?f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-

9

2

x²+6x-a．
f′（x）=3x²-9x+6=3(x-

3

2

)2-

3

4

，
∴[f′（x）]_min=-

3

4

．
?x∈R，f′（x）≥m恒成立?m≤[f′（x）]_min，
∴m≤-

3

4

，∴m的最大值為-

3

4

．
（2）f′（x）=3（x-2）（x-1），令f′（x）=0，解得x=1，2．
列出表格：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（1）=

5

2

-a；x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（2）=2-a．
∵函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，
∴f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0．
∴f（1）＜0或f（2）＞0．
解得a＞

5

2

或a＜2．
∴實數(shù)a的取值范圍是a＞

5

2

或a＜2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了函數(shù)零點與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值及其圖象的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．