Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）當(dāng)a=-1時，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為C（x₀，0），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（I）將f（x）在（0，+∞）上遞增，轉(zhuǎn)化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min即可，根據(jù)基本不等式可求出 (

1

x

+2x)min；
（II）根據(jù)f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，得到

f(x1)=lnx1-ax12-bx1 =0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2 =0

，兩式相減，可得ln

x1

x2

=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和導(dǎo)數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤(

1

x

+2x)min
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時取“=”，∴b≤2

2

，
∴b的取值范圍為（-∞，2

2

]；
（II）證明：由已知得

f(x1)=lnx1-ax12-bx1 =0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2 =0

，
即

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，兩式相減，得：ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)?ln

x1

x2

=[a(x1+x2)+b](x1-x2)，
由f′（x）=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得f′（x₀）=

1

x0

-2ax₀-b=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1 )

x1 x2 + 1

-ln

x1

x2

]，
令t=

x1

x2

∈（0，1），且φ（t）=

2t-2

t+1

-lnt  (0＜t＜1)，
∵φ′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴φ（t）是（0，1）上的減函數(shù)，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x₁＜x₂，
∴f'（x₀）＜0．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．