Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜1．

Answer 1

（I）設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）證明：因?yàn)?span >

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
即得證．