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（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
定義變換：可把平面直角坐標系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.
（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程. 并求出當時，其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；
（2）當時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換
：（，）下的不動點的存在情況和個數.
（1）（2）（3）兩個
（1）設橢圓的標準方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.
又由條件得…②，故由①、②可解得，.
即橢圓的標準方程為.
且橢圓兩個焦點的坐標分別為和.
對于變換：，當時，可得
設和分別是由和的坐標由變換公式變換得到.于是，，即的坐標為；
又即的坐標為.
（2）設是橢圓在變換下的不動點，則當時，
有，由點，即，得：
，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.
(3) 設是雙曲線在變換下的不動點，則由

因為，，故.
不妨設雙曲線方程為（），由代入得
則有,
因為，故當時，方程無解；
當時，要使不動點存在，則需，
因為，故當時，雙曲線在變換下一定有2個不動點，否則不存在不動點.
進一步分類可知：
（i）當，時，即雙曲線的焦點在軸上時，
；
此時雙曲線在變換下一定有2個不動點；
（ii）當，時，即雙曲線的焦點在軸上時，
.
此時雙曲線在變換下一定有2個不動點.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

若給定橢圓C：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和點N(x0,y0)，則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓C的“伴隨直線”，
(1)若N(x0,y0)在橢圓C上，判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，并說明理由；
(2)命題：“若點N(x0,y0)在橢圓C的外部，則直線l與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
(3)若N(x0,y0)在橢圓C的內部，過N點任意作一條直線，交橢圓C于A、B，交l于M點(異于A、B)，設，，問是否為定值？說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點M的坐標；
（3）是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題


（本題滿分13分）
設橢圓的左、右焦點分別為F1與F2，直線過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點，若的周長為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經過伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標原點）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線與坐標軸的交點分別是一個橢圓的焦點和頂點，則此橢圓的離心率為　　（　　�。�
A．B．C．或D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，過橢圓的左焦點作x軸的垂線交橢圓于點P，點A和點B分別為橢圓的右頂點和上頂點，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e（2）過右焦點作一條弦QR，使QR⊥AB．若△的面積為，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為         ．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓恰好過左焦點，則橢圓的離心率等于              。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知是以,為焦點的橢圓上的一點,若,,則此橢圓的離心率為____________.

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