Question

18．已知函數f（x）=x+$\frac{k}{|x|}$-1（x≠0），k∈R．
（1）當k=3時，試判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性，并用定義證明；
（2）若對任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）當k∈R時，試討論f（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （1）當k=3，x∈（-∞，0）時，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在（-∞，0）上單調遞增．利用定義法能進行證明．
（2）設2^x=t，則t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，根據k＞0，k=0，k＜0三個情況進行分類討論經，能求出k的取值范圍．
（3）根據k=0，k＞0，k＜0三種情況分類討論，利用導數性質能求出f（x）的零點個數．

解答 解：（1）當k=3，x∈（-∞，0）時，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，
${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增．
證明：在（-∞，0）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}-\frac{3}{{x}_{1}}-1$）-（${x}_{2}-\frac{3}{{x}_{2}}-1$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，∴${x}_{1}-{x}_{2}＜0，1+\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增．
（2）設2^x=t，則t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，
①當k＞0時，f′（t）=1-$\frac{k}{{t}^{2}}$，
t=$\sqrt{k}$時，f′（t）=0，且f（t）取最小值，
f（$\sqrt{k}$）=$\sqrt{k}+\frac{k}{\sqrt{k}}-1$=2$\sqrt{k}$-1，
當k$＞\frac{1}{4}$時，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1＞0，
當0＜k≤$\frac{1}{4}$時，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1≤0，
∴k＞$\frac{1}{4}$時，f（2^x）＞0成立；0＜k≤$\frac{1}{4}$時，f（2^x）＞0不成立．
②當k=0時，f（t）=t-1，
∵t∈（0，+∞），不滿足f（t）恒大于0，∴舍去．
③當k＜0時，f${\;}^{'}（t）=1-\frac{k}{{t}^{2}}$恒大于0，
∵$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（t）=-∞$，且f（x）在（0，+∞）內連續(xù)，
∴不滿足f（t）＞0恒成立．
綜上，k的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，+∞）．
（3）①當k=0時，f（x）=x-1，有1個零點．
②當k＞0時，
（i）當x＞0時，f（x）=x+$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
當x=$\sqrt{k}$時，f（x）取極小值，且f（x）在（0，+∞）內先減后增，
由f（x）函數式得$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（x）=\underset{lim}{x→+∞}f（x）=+∞$，
f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1，
當k=$\frac{1}{4}$時，f（$\sqrt{k}$）=0，f（x）在（0，+∞）內有1個零點，
當k＞$\frac{1}{4}$時，f（$\sqrt{k}$）＞0，f（x）在（0，+∞）內有0個零點，
當0＜k＜$\frac{1}{4}$時，f（$\sqrt{k}$）＜0，f（x）在（0，+∞）內有2個零點．
（ii）當x＜0時，f（x）=x-$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1+$\frac{k}{{x}^{2}}$，
f′（x）恒大于0，∴f（x）在（-∞，0）單調遞增，
由f（x）表達式，得：$\underset{lim}{x→-∞}f（x）=-∞$，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}f（x）=+∞$，
∴f（x）在（-∞，0）內有1個零點．
綜上，當k=0時，f（x）有1個零點；當0＜k＜$\frac{1}{4}$時，f（x）有3個零點；當k=$\frac{1}{4}$時，f（x）有2個零點；當k＞$\frac{1}{4}$時，f（x）有1個零點．
③當k＜0時，同理k＞0的情況：
當-$\frac{1}{4}$＜k＜0時，f（x）有3個零點；當k=-$\frac{1}{4}$時，f（x）有2個零點；當k＜-$\frac{1}{4}$時，f（x）有1個零點．
綜上所述，當k=0或k＞$\frac{1}{4}$或k＜-$\frac{1}{4}$時，f（x）有1個零點；
當k=$\frac{1}{4}$或k=-$\frac{1}{4}$時，f（x）有2個零點；
當0＜k＜$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{4}$＜k＜0時，f（x）有3個零點．

點評 本題考查孫的單調性的判斷及證明，考查實數物取值范圍的求法，考查函數的零點個數的討論，綜合性強，難度大，對數學思維能力要求較高．