已知曲線y=
1x
與y=x2交于點P，過P點的兩條切線與x軸分別交于A，B兩點，則△ABP的面積為
 
．
分析：聯(lián)立兩曲線方程求出交點坐標P（1，1），把x=1分別代入兩曲線的導函數(shù)中求兩切線的斜率，從而寫出過點P的兩條切線方程，然后根據(jù)與x軸交點坐標的求法分別求出A、B的坐標可確定出三角形的底與高，利用三角形的面積公式即可求出．
解答：解：聯(lián)立兩曲線方程得
y=
1
x
y=x2
解得
x=1
y=1
，所以切點P的坐標為（1，1），
求出兩曲線的導函數(shù)為y′=-
1
x2
和y′=2x，把x=1分別代入兩個導函數(shù)得到過p點切線的斜率分別為：k1=-
1
12
=-1，k2=2×1=2
則兩曲線在P點的切線方程分別為：y-1=-1（x-1）即x+y-2=0；y-1=2（x-1）即2x-y-1=0
因為A、B是兩切線與x軸的交點，所以令y=0，得到A（2，0），B（
1
2
，0），
則s△ABP=
1
2
×|2-
1
2
|×1=
3
4
．
故答案為：
3
4
點評：此題是把函數(shù)與方程綜合在一起的題型，要求學生會利用導數(shù)求切線的斜率，以及會根據(jù)一點和斜率寫出直線的方程，會求直線與x軸的截距．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q1，過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1，曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2，過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2，…，依次得到一系列點P1、P2、…、Pn，設(shè)點Pn的坐標為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設(shè)直線OPn的斜率為kn，求數(shù)列{nkn}的前n項和Sn，并證明Sn＜
4
9
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•楊浦區(qū)二模）（理）在平面直角坐標系xoy中，若在曲線C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ為正實數(shù)）代替（x，y）得到曲線C2的方程F（λx，λy）=0，則稱曲線C1、C2關(guān)于原點“伸縮”，變換（x，y）→（λx，λy）稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比．
（1）已知曲線C1的方程為
x2
9
-
y2
4
=1，伸縮比λ=2，求C1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C2的方程；
（2）射線l的方程y=
2
2
x(x≥0)，如果橢圓C1：
x2
16
+
y2
4
=1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓C2，若射線l與橢圓C1、C2分別交于兩點A、B，且|AB|=
2
，求橢圓C2的方程；
（3）對拋物線C1：y2=2p1x，作變換（x，y）→（λ1x，λ1y），得拋物線C2：y2=2p2x；對C2作變換（x，y）→（λ2x，λ2y）得拋物線C3：y2=2p3x，如此進行下去，對拋物線Cn：y2=2pnx作變換（x，y）→（λnx，λny），得拋物線Cn+1：y2=2pn+1x，…．若p1=1 ， λn=(
1
2
)n，求數(shù)列{pn}的通項公式pn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線y=
1x
和y=x2
（1）求它們的交點；
（2）分別求它們在交點處的切線方程；
（3）求兩條切線與x軸所圍成的三角形面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知曲線y=
1
x
與y=x2交于點P，過P點的兩條切線與x軸分別交于A，B兩點，則△ABP的面積為 ______．

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