Question

已知函數(shù)g（x）滿足g（x）=x-

4

x

，
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（2）求g（x）在區(qū)間[1，8]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，然后直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的證明方法得到g（x）在區(qū)間[1，8]上是增函數(shù)，由單調(diào)性求得最值后得答案．

解答： 解：（1）由題意知：g（x）=x-

4

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又g(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-g(x)，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)1≤x₁＜x₂≤8，
則：g(x1)-g(x2)=(x1-

4

x1

)-(x2-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)
∵1≤x₁＜x₂≤8，
∴x1-x2＜0，1+

4

x1x2

＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0．
即g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在區(qū)間[1，8]上是增函數(shù)．
∴g（x）_min=g（1）=-3，g(x)max=g(8)=

15

2

，
∴求g（x）在區(qū)間[1，8]上的值域?yàn)?span id="x7nrl9d" class="MathJye">[-3，

15

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，考查了函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．