Question

設(shè)P為曲線C：y=x²+2x+3上點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為（　　）

• A、[

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，0]
• C、[0，1]
• D、[-1，-

  1

  2

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍得到曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率的范圍，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并代入導(dǎo)函數(shù)，得到切線在切點(diǎn)處的切線的斜率，由不等式0≤2x₀+2≤1得答案．

解答： 解：由y=x²+2x+3，得
y′=2x+2，
∵曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，
∴曲線C在點(diǎn)P處切線的斜率為[0，1]．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則過(guò)切點(diǎn)處的切線的斜率為2x₀+2，
由0≤2x₀+2≤1，得-1≤x0≤-

1

2

．
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[-1，-

1

2

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．