Question

已知函數(shù)f（x）=log₂+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）．
（1）當p=7時，求函數(shù)f（x）的定義域與值域；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域與值域．

Answer 1

解：（1）由題意，可得，∴1＜x＜7
又∵函數(shù)f（x）=log₂+log₂（x﹣1）+log₂（7﹣x）
=log₂（x+1）（7﹣x）=log₂[﹣（x﹣3）2+16]．
令g（x）=﹣（x﹣3）²+16，
由于函數(shù)的定義域為{x|1＜x＜7}，則g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，
所以函數(shù)f （x）的值域為（﹣∞，4]
（2）由題意，可得，∴x＞1且x＜p
∵函數(shù)的定義域不能為空集，故p＞1，函數(shù)的定義域為（1，p）．
函數(shù)f（x）=log₂+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）
=log₂（x+1）（p﹣x）=log₂[﹣x2+（p﹣1）x+p]．
令t=﹣x²+（p﹣1）x+p==g（x）
①當，即1＜p＜3時，t在（1，p）上單調減，
g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，
∴f（x）＜1+log₂（p﹣1），函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，log2（p﹣1））；
②當，即p≥3時，g（p）＜t＜g（），即0＜t≤，
∴f（x）≤2log₂（p+1）﹣2，函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．
綜上：當1＜p＜3時，函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，log₂（p﹣1））；
當p≥3時，函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．