【題目】如圖在四面體中,是邊長為2的等邊三角形,為直角三角形,其中為直角頂點,.分別是線段上的動點,且四邊形為平行四邊形.
(1)求證:平面,平面;
(2)試探究當二面角從0°增加到90°的過程中,線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積;
(3)設,且為等腰三角形,當為何值時,多面體的體積恰好為?
【答案】(1)見解析 (2) (3)
【解析】
(1)先通過線面平行的判定定理,證得平面,通過線面平行的性質(zhì)定理,證得,由此證得平面;同理證得平面.
(2)畫出為、時的投影,由此判斷出線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域,進而求得區(qū)域的面積.
(3)先求得三棱錐的面積為,通過分割的方法,得到,分別求得與的關(guān)系式,再由列方程,解方程求得的值.
(1)∵四邊形為平行四邊形,
∴.而面,面,
∴面.而面,面面,
∴∥.而面,面,
∴∥平面.同理,∥平面;
(2)∵,
∴在平面上的投影滿足,即在線段的中垂線上.
如圖所示,將補成邊長為的正,
當二面角為角時,即點在平面上,此時為,
當二面角為角時,此時為中點,
故在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域為,而,
故線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積為;
(3)∵,,且為等腰三角形,∴.
取中點,易得:,,,
滿足:,根據(jù)勾股定理可知.
∴平面.∴.
而多面體的體積恰好為,即多面體的體積恰為四面體體積的一半.
連接.
,∴.
,∴.
∴,
∴,整理:,即,
解得:(舍去).
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【題目】已知,函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)用反證法證明:函數(shù)不可能為上的單調(diào)函數(shù).
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【題目】以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格和房屋的面積的數(shù)據(jù):
房屋面積() | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
銷售價格(萬元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖;
(2)求線性回歸方程,并在散點圖中加上回歸直線;
(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計當房屋面積為150時的銷售價格.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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【題目】如圖兩個同心球,球心均為點,其中大球與小球的表面積之比為3:1,線段與是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦,其中兩點在小球上,兩點在大球上,兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當四面體的體積達到最大值時,此時異面直線與的夾角為,則( )
A.B.C.D.
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【題目】下列命題正確的是( )
A.經(jīng)過任意三點有且只有一個平面.
B.過點有且僅有一條直線與異面直線垂直.
C.一條直線與一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行.
D.面與平面相交,則公共點個數(shù)為有限個.
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【題目】為推行“新課堂”教學法,某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式,在甲、乙兩個平行班級進行教學實驗.為了比較教學效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成績進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.
分數(shù) | |||||
甲班頻數(shù) | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
乙班頻數(shù) | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計 | |
成績優(yōu)良 | |||
成績不優(yōu)良 | |||
總計 |
附:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
(2)現(xiàn)從上述40人中,學校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核.在這8人中,記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】如圖所示, 是海面上一條南北方向的海防警戒線,在 上點 處有一個水聲監(jiān)測點,另兩個監(jiān)測點 分別在 的正東方向 處和 處.某時刻,監(jiān)測點 收到發(fā)自目標 的一個聲波, 后監(jiān)測點 后監(jiān)測點 相繼收到這一信號,在當時的氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是 .
(1)設 到 的距離為 ,用 分別表示 到 的距離,并求 的值;
(2)求目標 的海防警戒線 的距離(精確到 ).
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【題目】設函數(shù)(,且)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求t的值;
(2)若,求使不等式對一切恒成立的實數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)的圖象過點,是否存在正數(shù)m(),使函數(shù)在上的最大值為0,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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