Question

6．已知數列{a_n}滿足a₂=1，a_n+1•a_n=3ⁿ，則使a_n＜3²⁰¹⁴的最大整數n為4028．

Answer 1

分析 a_n+1•a_n=3ⁿ，a₂=1，可得a₁=3，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，于是數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為3．可得a_2k=3^k-1，a_2k-1=3^k．k∈N^*．即可得出．

解答 解：∵a_n+1•a_n=3ⁿ，a₂=1，
∴a₁=3，a_n+2•a_n+1=3ⁿ⁺¹．
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，公比為3．
a_2k=3^k-1，a_2k-1=3^k．k∈N^*．
則使a_n＜3²⁰¹⁴的最大整數n為2×2014=4028．
故答案為：4028．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．