Question

（2013•石家莊二模）選修4-1：幾何證明選講
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，以AB為直徑做圓0交AC于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求線段CD的長(zhǎng)度；
（Ⅱ）點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與圓0相切，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由勾股定理易求得AB的長(zhǎng)；可連接BD，由圓周角定理知AD⊥BD，易知△ABC∽R(shí)t△BDC，可得關(guān)于AC、CD、BC的比例關(guān)系式，即可求出CD的長(zhǎng)．
（II）當(dāng)ED與⊙O相切時(shí)，由切線長(zhǎng)定理知ED=EB，則∠EBD=∠EDB，那么∠OBD和∠ODB就是等角的余角，由此可證得BE=CE，即E是BC的中點(diǎn)．在證明時(shí)，可連接OD，證OD⊥DE即可．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)BD，在直角三角形ABC中，易知AC=5，∠BDC=∠ADB=90°，…（2分）
所以∠BDC=∠ABC，又因?yàn)椤螩=∠C，所以△ABC∽R(shí)t△BDC，
所以

CD

BC

=

BC

AC

，所以CD=

BC2

AC

=

9

5

．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切；
證明：連接OD，
∵DE是Rt△BDC的中線；
∴ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、切線的判定等知識(shí)．