Question

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點(diǎn).
（1）證明平面；
（2）若二面角P-AD-B為，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 

Answer 1

(1)詳見解析， (2)①詳見解析，②

試題分析：(1)證明線面平行，一般利用線線平行進(jìn)行證明.本題條件中的中點(diǎn)較多，所以取PB中點(diǎn)M,利用中位線性質(zhì)找尋平行條件.因為F為PC中點(diǎn)，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.，(2)①證明面面垂直，關(guān)鍵在一個面內(nèi)找出另一平面的垂線.經(jīng)分析BE平面PBC.這是因為通過計算可得BEPB, 又BC//AD,BEAD,從而BEBC,②求線面角，關(guān)鍵是找面的垂線，由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，下面只需分別求出BE與EF的值即可.在三角形ABP中，可求得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
證明(1)如圖取PB中點(diǎn)M,連接MF,AM.因為F為PC中點(diǎn)，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.

(2)①連接PE,BE.因為PA=PD,BA=BD,而E為AD中點(diǎn)，故PEAD,BEAD,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE="2," BE="1," ,由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB,又BC//AD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,②連接BF，由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP為直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直線EF與平面PBC所成角的正弦值為