【題目】（2017高考新課標(biāo)Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用題意證得二面角的平面角為90°，則可得到面面垂直；

（2）利用題意求得兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值為.

試題解析：（1）由題設(shè)可得，，從而.

又是直角三角形，所以.

取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.

又由于是正三角形，故.

所以為二面角的平面角.

在中，.

又，所以，

故.

所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.

由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.

故.

設(shè)是平面DAE的法向量，則即

可取.

設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可取.

則.

所以二面角D-AE-C的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)(a，bR)．

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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)了一種新產(chǎn)品，在推廣期邀請(qǐng)了100位客戶試用該產(chǎn)品，每人一臺(tái).試用一個(gè)月之后進(jìn)行回訪，由客戶先對(duì)產(chǎn)品性能作出“滿意”或“不滿意”的評(píng)價(jià)，再讓客戶決定是否購(gòu)買該試用產(chǎn)品（不購(gòu)買則可以免費(fèi)退貨，購(gòu)買則僅需付成本價(jià)）.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，決定退貨的客戶人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半，“對(duì)性能滿意”的客戶比“對(duì)性能不滿意”的客戶多10人，“對(duì)性能不滿意”的客戶中恰有選擇了退貨.

（1）請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“客戶購(gòu)買產(chǎn)品與對(duì)產(chǎn)品性能滿意之間有關(guān)”.

對(duì)性能滿意

對(duì)性能不滿意

合計(jì)

購(gòu)買產(chǎn)品

不購(gòu)買產(chǎn)品

合計(jì)

（2）企業(yè)為了改進(jìn)產(chǎn)品性能，現(xiàn)從“對(duì)性能不滿意”的客戶中按是否購(gòu)買產(chǎn)品進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取6位客戶進(jìn)行座談.座談后安排了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，共有6張獎(jiǎng)券，其中一張印有900元字樣，兩張印有600元字樣，三張印有300元字樣，抽到獎(jiǎng)券可獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金.6位客戶每人隨機(jī)抽取一張獎(jiǎng)券（不放回），設(shè)6位客戶中購(gòu)買產(chǎn)品的客戶人均所得獎(jiǎng)金為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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（2）BB1⊥AC．

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（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

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