Question

（選做題）如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F．若AB=AC，AE=3

5

，BD=4，則線段CF的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：由切割線定理得到AE²=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AEBC是平行四邊形，從而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3

5

，由△AFC∽△DFB，能求出CF的長(zhǎng)．

解答： 解：∵AB=AC，AE=3

5

，BD=4，
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，
由切割線定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），
即45=BE（BE+4），解得EB=5，
∵AC∥BD，∴AC∥BE，
∵過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠C，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，
∴四邊形AEBC是平行四邊形，
∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，
∴BC=AE=3

5

，
∵△AFC∽△DFB，∴

AC

BD

=

CF

FB

，即

5

4

=

CF

3 5 -CF

，
解得CF=

5 5

3

 ．
故答案為：

5 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．