Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，過橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m：x=1與橢圓G交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知A為橢圓G的左頂點(diǎn)，平行于AM的直線l與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)．判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對(duì)稱，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知條件得A(-2，0)，M(1，

3

2

)，設(shè)直線l：y=

1

2

x+n，n≠1．設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得x²+nx+n²-3=0．再由根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MB，MC關(guān)于直線m對(duì)稱．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，
過橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m：x=1與橢圓G交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限），
∴c=1，（1分）

c

a

=

1

2

，解得a=2，（2分）
∴b²=a²-c²=3，（3分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）∵A為橢圓G的左頂點(diǎn)，∴A(-2，0)，M(1，

3

2

)，（6分）
∴由題意可設(shè)直線l：y=

1

2

x+n，n≠1．（7分）
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+n

，得x²+nx+n²-3=0．
由題意得△=n²-4（n²-3）=12-3n²＞0，
即n∈（-2，2）且n≠1．（8分）
x1+x2=-n，x1x2=n2-3．（9分）
∵kMB+kMC=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

，（10分）

= 1 2 x1+n- 3 2 x1-1 + 1 2 x2+n- 3 2 x2-1 =1+ n-1 x1-1 + n-1 x2-1 =1+ (n-1)(x1+x2-2) x1x2-(x1+x2)+1

=1-

(n-1)(n+2)

n2+n-2

=0，（13分）
所以直線MB，MC關(guān)于直線m對(duì)稱．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩條直線是否關(guān)于已知直線對(duì)稱的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．