Question

（2012•靜安區(qū)一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．
求：
（1）異面直線PD與AC所成角的大小．（結果用反三角函數值表示）
（2）四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用平移法作出異面直線所成的角，進而利用余弦定理可求線線角；
（2）四棱錐的體積為

1

3

×底面積×高，求出底面梯形的面積即可．

解答：解：（1）連接AC，過點C作CF∥AB交AD于點F，因為∠ADC=45°，所以FD=1，從而BC=AF=2，……（2分）
延長BC至E，使得CE=AD=3，則AC∥DE，∴∠PDE（或其補角）是異面直線PD與AC所成角，且DE=AC=

5

，AE=

26

，PE=3

3

，PD=

10

．（5分）
在△PDE中，cos∠PDE=-

3 2

5

．…（8分）
所以，異面直線PD與AC所成角的大小為arccos

3 2

5

．…（9分）
（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，
∴底面梯形面積為

5

2

∵PA⊥平面ABCD，PA=1．
∴四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

×

5

2

×1=

5

6

．…（6分）

點評：本題考查線線角，考查棱錐的體積，解題的關鍵是正確作出線線角，屬于中檔題．