Question

下列給出的命題中：
①如果三個(gè)向量

a

，

b

，

c

不共面，那么對(duì)空間任一向量

p

，存在一個(gè)唯一的有序數(shù)組x，y，z使

p

=x

a

+y

b

+z

c

．
②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．則與向量

AB

和

OC

都垂直的單位向量只有

n

=（

6

6

，

6

6

，-

6

3

）．
③已知向量

OA

，

OB

，

OC

可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則向量

OA

可以與向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

構(gòu)成不共面的三個(gè)向量．
④已知正四面體OABC，M，N分別是棱OA，BC的中點(diǎn)，則MN與OB所成的角為

π

4

．
是真命題的序號(hào)為（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①②③
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：①利用空間向量基本定理即可判斷出；
②與向量

AB

和

OC

都垂直的單位向量只有

n

=±（

6

6

，

6

6

，-

6

3

）．
③由于向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

共線，則向量

OA

可以與向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

不能構(gòu)成不共面的三個(gè)向量．
④如圖所示，不妨設(shè)AB=2．取AB的中點(diǎn)為P，連接MP，PN．可得PM=PN=1，MN=

AN2-AM2

=

2

，可得∠PMN=

π

4

．

解答： 解：①如果三個(gè)向量

a

，

b

，

c

不共面，由空間向量基本定理可得：對(duì)空間任一向量

p

，存在一個(gè)唯一的有序數(shù)組x，y，z使

p

=x

a

+y

b

+z

c

．
②已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，1）．則與向量

AB

和

OC

都垂直的單位向量只有

n

=±（

6

6

，

6

6

，-

6

3

），因此不正確．
③已知向量

OA

，

OB

，

OC

可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

共線，則向量

OA

可以與向量

OA

-

OB

和向量

OA

-

OB

不能構(gòu)成不共面的三個(gè)向量．
④已知正四面體OABC，M，N分別是棱OA，BC的中點(diǎn)，如圖所示，
不妨設(shè)AB=2．取AB的中點(diǎn)為P，連接MP，PN．
可得PM=PN=1，MN=

AN2-AM2

=

2

，∴∠PMN=

π

4

．則MN與OB所成的角為

π

4

．
綜上可得：真命題的序號(hào)為①④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間向量基本定理、正四面體的性質(zhì)、空間角、共線向量等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．