Question

已知函數(shù)(為常數(shù)，且)，且數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，當時，求數(shù)列的前n項和。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明等于一個與無關(guān)的常數(shù)即可，由已知數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，故，即，可求得，代入即可數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若，當時，求數(shù)列的前項和，首先求出數(shù)列的通項公式，由（Ⅰ）可知，故，這是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所組成的數(shù)列，可利用錯位相減法來求和，可求得．
試題解析：（Ⅰ）由題意知f(a_n)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，           (2分)
即log_ka_n＝2n＋2，∴a_n＝k^2n＋2，                         (3分)
∴.                              (5分)
∵常數(shù)k＞0且k≠1，∴k²為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是以k⁴為首項，k²為公比的等比數(shù)列。         (6分)
（Ⅱ）由（1）知，b_n＝a_nf(a_n)＝k^2n＋2·(2n＋2)，
當k＝時，b_n＝(2n＋2)·2^n＋1＝(n＋1)·2^n＋2.           (8分)
∴S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋＋(n＋1)·2^n＋2， ①
2S_n＝2·2⁴＋3·2⁵＋＋n·2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3， ②         (10分)
②－①，得S_n＝―2·2³―2⁴―2⁵――2^n＋2＋(n＋1)·2^n＋3   
＝―2³―(2³＋2⁴＋2⁵＋＋2^n＋2)＋(n＋1)·2^n＋3,
∴S_n＝―2³―＋(n＋1)·2^n＋3＝n·2^n＋3.       (12分)