Question

【題目】根據(jù)《山東省全民健身實(shí)施計(jì)劃（2016-2020年）》，到2020年鄉(xiāng)鎮(zhèn)（街道）普遍建有“兩個(gè)一”工程，即一個(gè)全民健身活動(dòng)中心或燈光籃球場(chǎng)、一個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng).某市把甲、乙、丙、丁四個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng)全部免費(fèi)為市民開(kāi)放.

（1）在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的使用場(chǎng)數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從甲、乙、丙、丁四場(chǎng)館的使用場(chǎng)數(shù)中依次抽取，，，共25場(chǎng)，在，，，中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)四個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng)一個(gè)月內(nèi)各場(chǎng)使用次數(shù)之和為，其相應(yīng)維修費(fèi)用為元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的與數(shù)據(jù)：

	10	15	20	25	30	35	40
	2302	2708	2996	3219	3401	3555	3689
	2.49	2.99	3.55	4.00	4.49	4.99	5.49

（i）用最小二乘法求與之間的回歸直線方程；

（ii）叫做運(yùn)動(dòng)場(chǎng)月惠值，根據(jù)（i）的結(jié)論，試估計(jì)這四個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng)月惠值最大時(shí)的值.

參考數(shù)據(jù)和公式：，，，，

，.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）（i）；（ii）20.

【解析】

（1）根據(jù)題意，確定抽樣比，得到，，，的值分別為5，6，9，5；所以這兩數(shù)和的所有可能的取值為10，11，14，15，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）（i）由最小二乘法，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出，的估計(jì)值，從而可得回歸直線方程；

（ii）由（i）得到，所以，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)的方法求其最值即可.

（1）根據(jù)題中所給的條形圖，易知總場(chǎng)數(shù)為100，所以抽樣比例為，

所以，，，的值分別為5，6，9，5.

所以這兩數(shù)和的所有可能的取值為10，11，14，15.

于是，，

，，

所以隨機(jī)變量的分布列為：

	10	11	14	15

所以.

（2）（i）因?yàn)?/span>，，，，

所以，

即，

所以與之間的回歸直線方程為.

（ii）因?yàn)?/span>，

所以，

設(shè)，

則，

令，在恒成立，

則在為減函數(shù)，又，

所以當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，

所以估計(jì)這四個(gè)多功能運(yùn)動(dòng)場(chǎng)月惠值最大時(shí)的值為20.