Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）無零點，求證：b＞0；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點，且兩零點是相鄰兩整數(shù)，求證：f(-a)=

1

4

(a2-1)；
（3）若函數(shù)f（x）有兩非整數(shù)零點，且這兩零點在相鄰兩整數(shù)之間，試證明：存在整數(shù)k，使得|f(k)|＜

1

4

．

Answer 1

（1）證明：f（x）=x²+ax+b無零點，
△=a²-4b＜0，
b＞

a2

4

≥0．
（2）證明：設(shè)f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則2m+1=-a，m(m+1)=b=

1

4

(a2-1)，
所以f(-a)=b=

1

4

(a2-1)．

（3）證明：設(shè)相鄰兩整數(shù)為t、t+1，則f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a²-4b＞0，
根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，f^/（t）=2t+a＜0，f^/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
從而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+

a

2

＜0．
所以0＜t+

a

2

+1≤

1

2

或-

1

2

＜t+

a

2

＜0．
若0＜t+

a

2

+1≤

1

2

，
則0＜f(t+1)=(t+1+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t+1)|＜

1

4

；
若-

1

2

＜t+

a

2

＜0，
則0＜f(t)=(t+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t)|＜

1

4

．
所以，存在整數(shù)k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜

1

4

．