Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n²+n）•3ⁿ．
（Ⅰ）求

lim

n→∞

an

Sn

；（Ⅱ）證明：

a1

12

+

a2

22

+…+

an

n2

＞3ⁿ．

Answer 1

分析：（1）由題意知

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

Sn-Sn-1

Sn

=

lim

n→∞

(1-

Sn-1

Sn

)=1-

lim

n→∞

Sn-1

Sn

，由此可知答案．
（2）由題意知，

a1

12

+

a2

22

+…+

an

n2

=

S1

12

+

S2-S1

22

+…+

Sn-Sn-1

n2

=(

1

12

-

1

22

) S1 +(

1

22

-

1

32

) S2 +…+(

1

(n-1)2

-

1

n2

)Sn-1+

1

n2

Sn＞

1

n2

Sn，由此可知，當(dāng)n≥1時(shí)，

a1

12

+

a2

22

+…+

an

n2

＞3n．

解答：解：（1）

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

Sn-Sn-1

Sn

=

lim

n→∞

(1-

Sn-1

Sn

)=1-

lim

n→∞

Sn-1

Sn

lim

n→∞

Sn-1

Sn

=

lim

n→∞

n-1

n+1

•

1

3

=

1

3

，所以

lim

n→∞

an

Sn

=

2

3

（6分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，

a1

12

=S1=6＞3；
當(dāng)n＞1時(shí)，

a1

12

+

a2

22

+…+

an

n2

=

S1

12

+

S2-S1

22

+…+

Sn-Sn-1

n2

=(

1

12

-

1

22

) S1 +(

1

22

-

1

32

) S2 +…+(

1

(n-1)2

-

1

n2

)Sn-1+

1

n2

Sn＞

1

n2

Sn=

n2+n

n2

•3n＞3n
所以，n≥1時(shí)，

a1

12

+

a2

22

+…+

an

n2

＞3n．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限問題，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．