Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0外一點(diǎn)P，從P向圓C引切線，切點(diǎn)為A，B、O是原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）時(shí)，求過A，B，P三點(diǎn)的圓的方程．
（Ⅱ）當(dāng)∠AOP=∠PAO時(shí)，求使|AP|最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PQ⊥AP，PQ⊥BP可判斷出P，Q，A，B共圓，PQ為直徑，根據(jù)圓C的方程可求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得PQ的長(zhǎng)度和中點(diǎn)坐標(biāo)從而求得所求圓的圓心和半徑，則圓的方程可得．
（2）設(shè)P（x，y），根據(jù)∠AOP=∠PAO可知|PA|=|PO|，PA是圓C的切線，進(jìn)而可知CA⊥PA，利用勾股定理求得x和y的關(guān)系式，推斷出點(diǎn)P的軌跡為一條直線，顯然該直線與圓相離要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值，當(dāng)OP⊥l時(shí)|OP|有最小值易知此時(shí)OP的斜率是-2進(jìn)而可求得OP的方程，最后兩直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1） 已知圓C：x²+y²+2x-4y+1=0則
（x+1）²+（y-2）²=4 設(shè)其圓心為 Q（-1，2）得到
PQ²=（3+1）²+（2+2）²=32
∵PQ⊥AP，PQ⊥BP
∴P，Q，A，B共圓，PQ為直徑，
則 PQ 的中點(diǎn) R（1，0） 為過A，B，P三點(diǎn)的圓的圓心
所以（x-1）²+y²=8 為過A，B，P三點(diǎn)的圓的方程
（2）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：
設(shè)P（x，y）
因∠AOP=∠PAO
故|PA|=|PO|
即|PA|²=|PO|²
因PA是圓C的切線
故CA⊥PA
故|PA|²=|PC|²-r²
故|PC|²-r²=|PO|²
即（x+1）²+（y-2）²-4=x²+y²
化簡(jiǎn)得：
2x-4y+1=0
易知P的軌跡是一條直線l
顯然該直線與圓相離
要求|AP|的最小值，即求|OP|的最小值
顯然當(dāng)OP⊥l時(shí)|OP|有最小值
易知此時(shí)OP的斜率是-2
故OP：y=-2x
聯(lián)立，解得P坐標(biāo)為（-，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．