Question

已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形∠BAD＝，PA⊥平面ABCD，點E在側(cè)棱PC上．

(Ⅰ)求證：平面BED⊥平面PAC；

(Ⅱ)若E是PC的中點，且AB＝a，求E到平面PAB的距離；

(Ⅲ)若∠BED＝π－，且E是PC的中點，求二面角C－BE－D的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∵BD平面DBE，∴平面BDE⊥平面PAC． 　　(Ⅱ)設(shè)AC∩BD＝O，由E是PC的中點，∴EO∥PA，∴EO∥平面PAB，∴O到平面PAB的距離為E到平面PAB的距離，又平面PAB⊥平面ABCD于AB，作OF⊥AB于F，則OF⊥平面PAB，在△AOB中，∵AO＝，BO＝，AB＝a，∴OF＝．∴E到平面PAB的甲距離為． 　　(Ⅲ)作OH⊥BE于H，由(Ⅰ)知OC⊥平面BDE，∴OH為CH在平面BED內(nèi)射影，由三垂線定理得CH⊥BE，即∠CHO是二面角C－BE－D的平面角，設(shè)AB＝1，則BO＝，BD＝，CO＝．由△PBC≌△PCD，得BE＝DE，在△BDE中，－2BE·ED·cos∠BED 　　∴BE＝ ∴EO＝．∴在Rt△BOE，OH＝ 　　∴tan∠CHO＝，∴∠CHO＝．