Question

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.

（Ⅱ）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)，求證：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）根據(jù)斜率情況進(jìn)行分類討論，分別證明知直線垂直，從而=4

【解析】解：（Ⅰ），橢圓方程為……2分

準(zhǔn)圓方程為。                                   …………3分

（Ⅱ）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032310103071876042/SYS201303231011565781527823_DA.files/image007.png">與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為，當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，

此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是（或），

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.        …………………………6分

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

則消去，得.

由化簡整理得：.…………………………8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032310103071876042/SYS201303231011565781527823_DA.files/image018.png">，所以有.

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032310103071876042/SYS201303231011565781527823_DA.files/image002.png">與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.                      …………………………10分

綜合①②知：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032310103071876042/SYS201303231011565781527823_DA.files/image002.png">經(jīng)過點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)，且垂直，所以線段為準(zhǔn)圓的直徑，所以=4.       ………………………12分