已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－mx.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)求證：．


解　(1)對f(x)求導，得f′(x)＝－m(x>－1)．

當m≤0時，f′(x)>0恒成立，則f(x)為

(－1，＋∞)上的增函數(shù)，所以f(x)沒有極值．

當m>0時，由f′(x)>0，得－1<x<－1；

由f′(x)<0，得x>－1.

所以f(x)在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

故當x＝－1時，f(x)有極大值，但無極小值．

(2)證明：取m＝1，由(1)知f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)<f(0)＝0.

即ln(1＋x)<x(x>0)．

令x＝(k>0)，得ln(1＋)<，即ln<，分別取k＝n＋1，n＋2，…，n＋(n＋1)，


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是(　　)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常數(shù)，a∈R.

(1)討論當a＝1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；

(2)求證：在(1)的條件下，f(x)>g(x)＋；

(3)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c＝________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　)

A．1＋25ln5                             B．8＋25ln

C．4＋25ln5                             D．4＋50ln2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


曲線y＝＋2x＋2e2x，直線x＝1，x＝e和x軸所圍成的區(qū)域的面積是________．

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已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m<1)，試判斷式子sinα－cosα的符號．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)設(shè)x∈，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．

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