如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是矩形,PA 平面ABCD,PA=AD,AB=AD,E是線段PD上的點(diǎn),F是線段AB上的點(diǎn),且.
(I)判斷EF與平面PBC的關(guān)系,并證明;
(Ⅱ)當(dāng)=l時(shí),證明DF 平面PAC;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使異面直線EF與CD所成角為60°?若存在,
試求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(Ⅰ)EF//平面PBC ,證明如下:
作FG//BC交CD于G,連結(jié)EG ,則
∵ ∴ ∴ PC//EG
又 FG//BC,BC∩PC=C,F(xiàn)G∩GE= G
∴ 平面PBC//平面EFG
又EF平面PBC
∴ EF//平面PBC
(Ⅱ)∵,則F為AB的中點(diǎn)
又AB=AD,AF=AB
∴在Rt△FAD 與Rt△ACD中
∴ ∠AFD=∠CAD
∴ AC⊥DF
又∵PA⊥平面ABCD,DF平面ABCD
∴PA⊥DF
∴DF⊥平面PAC
(Ⅲ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AD=1 ,則A(0,0,0),B(,0,0)
D(0,1,0) C(,1,0)P(0,0,1)又
∴ F()
設(shè) E(0,y0,x0)則
又
∴(0,y0,z0-1)=(0,1-y0,-z0)
∴ 即E(0,,)
∴
假設(shè)存在實(shí)數(shù),是異面直線EF與CD所成的角為600,則
∴ ∴
∴存在實(shí)數(shù)使異面直線EF與CD所成的角為600
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