Question

（本小題滿分l2分） 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求證：對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（3）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系可列出關(guān)于的二元一次方程組，從而可求出函數(shù)的解析式.由題意可知，依題意可知，從而可列方程組，解得，所以函數(shù)的解析式為；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性求最值的方法，先判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差，從而命題可得證明.由（1）可知，令，解得，即函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)閷?duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，

都有，所以命題得證；

（3）由（1）可知， 由曲線方程可知點(diǎn)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為，則

因，故切線的斜率為，整理得，

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根，

設(shè)，則，由，得或，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的極值點(diǎn)為0、1，

所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，依題意，f′（1）=f′（－1）=0，

即 解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x.-------3分

（2）∵f（x）=x3－3x,∴f′（x）= 3x2－3=3（x+1）（x－1），

當(dāng)－1<x<1時(shí)，f′（x）<0，故f（x）在區(qū)間[－1， 1]上為減函數(shù)，fmax（x）=f（－1）=2，fmin（x）=f（1）=－2

∵對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，

都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x） －fmin（x）|，所以|f（x1）－f（x2）|≤2－（－2）=4 -----7分

（3）f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

∵曲線方程為y=x3－3x，∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，

故切線的斜率為，整理得，

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根，

設(shè)，則，由，得或，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的極值點(diǎn)為0、1，

所以關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得.

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. 12分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用；2.利用函數(shù)最值證明不等式.