Question

【題目】某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件，該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲.為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過(guò)一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣（一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣）.該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案：第一種，每闖過(guò)一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣；第二種，闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣；第三種，闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番（即增加1倍）.游戲規(guī)定：闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案.

（1）設(shè)闖過(guò)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣總數(shù)依次為，試求出的表達(dá)式；

（2）如果你是一名闖關(guān)者，為了得到更多的慧幣，你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案？

Answer 1

【答案】（1），，；（2）若我是一名闖關(guān)者，當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)小于時(shí)，應(yīng)選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案；當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于時(shí)，應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案.

【解析】

試題分析：（1）第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)均為，由此能求出；第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各項(xiàng)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是，公差也為的等差數(shù)列，由此能求出的表達(dá)式；第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，由此能求出的表達(dá)式；（2）令，即，解得.由，知恒成立.令，即，解得.故當(dāng)時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，.由此能夠選出最佳的選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案.

試題解析：（1）第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列，∴，第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是，公差也為的等差數(shù)列，∴，

第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，

∴.

（2）令，即，解得，

∵且，∴恒成立，

令，即，當(dāng)時(shí)，該不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，

，而當(dāng)時(shí)，，

不等式成立，同樣可計(jì)算得當(dāng)時(shí)，成立.

∴當(dāng)時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，最大.

綜上，若我是一名闖關(guān)者，當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)小于時(shí)，應(yīng)選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案；當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于時(shí)，應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案.