Question

如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC為軸翻折半平面，使二平面角B－AC－D為120°，

求：(1)翻折后，D到平面ABC的距離；

(2)BD和AC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：分別過B、D作AC的垂線，垂足是E、F，過F作F∥BE，過B作B∥AC，交點(diǎn)，則四邊形EFB是矩形． 　　∵AC⊥DF，AC⊥F，∴AC⊥平面FD，即∠DB就是二面角B－AC－D的平面角，亦即∠DF＝120°． 　　過D作DO⊥F，垂足為O．∵DO平面DF，AC⊥平面DF．∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC． 　　在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝． 　　(2)在ΔDF中，D＝＝3． 　　又由(1)可知，AC∥B，AC⊥平面DF⊥平面DF．∴B⊥平面DF，∴ΔDB是直角三角形，又B＝EF＝2．∴tan∠DB＝． 　　∵AC∥B，∴AC與BD所成的角就是∠DB，即為arctan． 　　說明：處理翻折問題，只要過不在棱上的點(diǎn)作棱的垂直相交的線段，就可以化成基本題型處理，本題也可以這樣考慮，即利用異面直線DF、BE上兩點(diǎn)B、D間的距離，先求出BD2＝EF2＋DF2＋BE2－2DF·BE·cos120°＝13，從而得出∠DB＝arccos．

提示：

研究翻折問題，通常要畫出翻折前的平面圖形和翻折后的空間圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的字母要相同．