Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點E是AB的中點．
求：（1）異面直線AD₁與EC所成的角
（2）點D到平面ECD₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明取CD的中點Q，則AQ平行與EC，所以∠D₁AQ是所求的角，再根據(jù)題意求出三角形的邊長，進而利用解三角形的有關(guān)知識求出答案．
（2）設(shè)點D到平面ECD₁的距離為h，由=，進而得到答案．
解答：解：（1）證明取CD的中點Q，則AQ平行與EC，所以∠D₁AQ是所求的角------（2分）
因為AD=1，AB=2，并且Q為CD的中點，
所以AQ=，
又因為在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，
所以AD₁=，QD₁=，
所以△D₁AQ為等邊三角形，∠D₁AQ=-------------（5分）
所以異面直線AD₁與EC所成的角為-------（6分）
（2）設(shè)點D到平面ECD₁的距離為h-----------（7分）
因為=---------（9分）
所以
所以----------（11分）
所以點D到平面ECD₁的距離為------------（12分）
點評：本題主要考查空間異面直線的夾角問題與點到平面的距離，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求出答案即可，求點到平面的距離的方法：一般是利用等體積法或者借助于向量求解．