Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6

3

，BD=6，PD=3

6

，E、F分別是PB、CB上靠近點B的一個三等分點．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求EF與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由線面垂直的性質(zhì)可得PD⊥AC，由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD后，進而可得AC⊥DE；
（Ⅱ）以點O為坐標原點，OB、OC所在的直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，求出直線EF的方向向量和平面PAB的法向量，代入向量夾角公式可得EF與平面PAB所成角的正弦值．

解答：證明：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD
∴PD⊥AC
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC
又∵PD∩BD=D，PD，BD?面PBD
∴AC⊥面PBD
又∵DE?面PBD
∴AC⊥DE                                      …（3分）
（Ⅱ）以點O為坐標原點，OB、OC所在的直線為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
則∵AC=6

3

，BD=6，PD=3

6

，E、F分別是PB、CB上靠近點B的一個三等分點．
∴P（-3，0，3

6

），A（0，-3

3

，0），B（3，0，0），C（0，3

3

，0），
∴

EB

=

1

3

PB

=（2，0，-

6

），

BF

=

1

3

BC

=（-1，

3

，0），
∴

EF

=

EB

+

BF

=（1，

3

，-

6

），
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），由

PA

=（3，-3

3

，-3

6

），

PB

=（6，0，-3

6

）得，

n • PA =0 n • PB =0

，即

3x-3 3 y-3 6 z=0 6x-3 6 z=0

令z=2，則

n

=（

6

，-

2

，2）
則EF與平面PAB所成角θ滿足
sinθ=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

2 6

10 •2 3

=

5

5

，
即

5

5

為EF與平面PAB所成角的正弦值…（8分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直與線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．