【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng).

（2）若，求數(shù)列的最大值項(xiàng).

（3）對于（2）中數(shù)列，是否存在？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）（3）數(shù)列中存在唯一相等的兩項(xiàng).

【解析】

（1）由，知.

當(dāng)時(shí)，.

化簡得.

以代替得.

兩式相減得.

則.

故為等差數(shù)列.

又由，知.

（2），考慮時(shí)，的取值范圍.

注意到，即.

則.

當(dāng)時(shí)，

.

因此，當(dāng)，即時(shí)，有.

又通過比較的大小知.

所以，數(shù)列滿足.①

因此，數(shù)列的最大值項(xiàng)為.

（3）顯然，.

由知，當(dāng)時(shí)，.

再由式①可知，若數(shù)列存在相等兩項(xiàng)，只能是與后面的項(xiàng)可能相等.

又，即第2項(xiàng)與第8項(xiàng)相等.

再由式①知，僅有第8項(xiàng)與第2項(xiàng)相等.

而，故由式①知，與第3項(xiàng)相等的項(xiàng)不存在.

因此，數(shù)列中存在唯一相等的兩項(xiàng).

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