【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足.

(1)求數(shù)列的通項.

(2),求數(shù)列的最大值項.

(3)對于(2)中數(shù)列,是否存在?若存在,求出所有相等的兩項;若不存在,說明理由.

【答案】(1)(2)(3)數(shù)列中存在唯一相等的兩項.

【解析】

(1)由,知.

時,.

化簡得.

代替.

兩式相減得.

.

為等差數(shù)列.

又由,知.

(2),考慮時,的取值范圍.

注意到,.

.

時,

.

因此,當,即時,有.

又通過比較的大小知.

所以,數(shù)列滿足.①

因此,數(shù)列的最大值項為.

(3)顯然,.

知,當時,.

再由式①可知,若數(shù)列存在相等兩項,只能是與后面的項可能相等.

,即第2項與第8項相等.

再由式①知,僅有第8項與第2項相等.

,故由式①知,與第3項相等的項不存在.

因此,數(shù)列中存在唯一相等的兩項.

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