已知a>0，函數(shù)f（x）=ax－bx2.

（1）當b>0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2；

（2）當b>1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2；

（3）當0<b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件.

 

答案：
解析：

（1）證明：根據(jù)題設，對任意x∈R，都有f（x）≤1.又f（x）=－b（x－）2+.∴f（）=≤1，∵a>0，b>0，∴a≤2.

（2）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≥－1.據(jù)此可推出

f（1）≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.

對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因為b>1，可得0<<1，可推出f（）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2，∴b－1≤a≤2.

充分性：因為b>1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1，因為b>1，a≤2，對任意x∈［0，1］，可以推出：

ax－bx2≤2x－bx2－b（x－）2+1≤1，即ax－bx2≤1，∴－1≤f（x）≤1.

綜上，當b>1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2.

（3）解：因為a>0，0<b≤1時，對任意x∈［0，1］有f（x）=ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1；

f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b+1，又a≤b+1f（x）≤（b+1）x－bx2≤1，即f（x）≤1.

所以，當a>0，0<b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b+1.

 


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省石家莊市高三下學期第二次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

.(本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)=ln+mx2(m∈R)

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函數(shù)f(x)圖象上不同的兩點，且a>b>0, 為f(x)的導函數(shù)，求證：

(III)求證

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)x為何值時，函數(shù)值大于1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝a－是偶函數(shù)，a為實常數(shù).

(1)求b的值；

(2)當a＝1時，是否存在n>m>0，使得函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由.

(3)若在函數(shù)定義域內(nèi)總存在區(qū)間[m，n](m<n)，使得y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)值組成的集合也是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知指函數(shù)ƒ(x)=ax(a>0，且a≠1)自變量與函數(shù)值  的部分對應值如右表：

那么a=_____；若函數(shù)y=x[ƒ(x)－2]，則滿足條件y>0的x的集合為___________________.

x

-1

0

2

ƒ(x)

2

1

0.25

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