Question

已知f（x）是定義在集合D上的函數(shù)，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若f(x)=-

x

2

+asinx，在[

π

2

，π]（[

π

2

，π]⊆D）上的最大值為

1-π

4

，試求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若對(duì)于定義域中任意的x₁，x₂，存在正數(shù)ε，使|x₁-1|＜

ε

2

且|x₂-1|＜

ε

2

，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，進(jìn)而得到a的值，解出不等式即可；
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x，由已知得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到f(x1)-f(x2 )＜x2-x1 ，又由函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |≤|x2-1|-|x1 -1|＜?，即得證．

解答：解：（1）由于f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在[

π

2

，π]上單調(diào)遞減，
故fmax(x)=f(

π

2

)=-

π 2

2

+asin

π

2

=

1-π

4

，解得a=

1

4

則原不等式為|

1

4

x+1|＜

1

4

，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集為（-5，-3）；
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，則函數(shù)g（x）為其定義域上的增函數(shù)，
即g(x1)＜g(x2 )，亦即f(x1)+x1＜f(x2 )+x2 ，
則f(x1)-f(x2 )＜x2-x1 
又由函數(shù)f（x）在D上遞減，則f(x1)＞f(x2 )
故|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |
∵|f(x1)-f(x2 )|＜|x2-x1 |=|(x2-1)-(x1 -1)|≤|x2-1|-|x1 -1|＜

?

2

+

?

2

=?
∴|f(x1)-f(x2 )|＜?

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．