Question

18．如圖，曲線M：y²=x與曲線N：（x-4）²+2y²=m²（m＞0）相交于A、B、C、D四個點．
（1）求m的取值范圍；
（2）求四邊形ABCD的面積的最大值及此時對角線AC與BD的交點坐標．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立曲線$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{（x-4）^{2}+2{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，得x²-6x+16-m²=0，由此利用根的判別式、韋達定理能求出m的取值范圍．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁，y₁＞0，y₂＞0，則S_ABCD=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$）（x₂-x₁）=$\sqrt{6+2\sqrt{16-{m}^{2}}}$•$\sqrt{36-4×（16-{m}^{2}）}$，令t=$\sqrt{16-{m}^{2}}$，則tS_ABCD=2$\sqrt{2}$$\sqrt{-{t}^{3}-3{t}^{2}+9t+27}$，設f（t）=-t³-3t²+9t+27，由導數(shù)性質(zhì)能求出S_ABCD的最大值為16．由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）聯(lián)立曲線$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{（x-4）^{2}+2{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，得（x-4）²+2x-m²=0，
整理，得：x²-6x+16-m²=0，
根據(jù)已知條件，得$\left\{\begin{array}{l}{△=36-4（16-{m}^{2}）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=6＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=16-{{m}^{2}＞0}_{\;}}\end{array}\right.$，
解得$\sqrt{7}＜m＜4$．（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₂＞x₁，y₁＞0，y₂＞0，
則S_ABCD=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$）（x₂-x₁）
=$\sqrt{{x}_{1}+{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{6+2\sqrt{16-{m}^{2}}}$•$\sqrt{36-4×（16-{m}^{2}）}$．（6分）
令t=$\sqrt{16-{m}^{2}}$，則t∈（0，3），S_ABCD=$\sqrt{6+2t}•\sqrt{36-4{t}^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{-{t}^{3}-3{t}^{2}+9t+27}$，（7分）
設f（t）=-t³-3t²+9t+27，
則令f′（t）=-3t²-6t+9=-3（t²+2t-3）=-3（t-1）（t+3）=0，
可得當t∈（0，3）時，f（x）的最大值為f（1）=32，從而S_ABCD的最大值為16．
此時t=1，即$\sqrt{16-{m}^{2}}$=1，則m²=15．（9分）
聯(lián)立曲線M，N的方程消去y并整理得
x²-6x+1=0，解得${x}_{1}=3-2\sqrt{2}$，${x}_{2}=3+2\sqrt{2}$，
∴A點坐標為（3-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-1$），C點坐標為（3+2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}-1$），
k_AC=$\frac{（-\sqrt{2}-1）-（\sqrt{2}-1）}{（3+2\sqrt{2}）-（3-2\sqrt{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
則直線AC的方程為y-（$\sqrt{2}-1$）=-$\frac{1}{2}$[x-（3-2$\sqrt{2}$）]，（11分）
當y=0時，x=1，由對稱性可知AC與BD的交點在x軸上，
即對角線AC與BD交點坐標為（1，0）．（12分）

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查四邊形的面積的最大值及此時對角線的交點坐標的求法，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維能力的要求較高．