Question

如圖，已知正△A₁B₁C₁ 的邊長(zhǎng)是1，面積是P₁，取△A₁B₁C₁ 各邊的中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂ 的面積為P₂，再取△A₂B₂C₂ 各邊的中點(diǎn)A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃ 的面積為P₃，依此類推．記S_n=P₁+P₂+…+P_n 
，則

lim

n→∞

Sn （　�。�

• A．

  3

  3

• B．

  3

• C．2

  3

• D．4

  3

Answer 1

分析：已知正△A₁B₁C₁ 的邊長(zhǎng)是1，則取其中點(diǎn)得到的三角形△A₂B₂C₂ 的邊長(zhǎng)為

1

2

，取△A₂B₂C₂ 的中點(diǎn)得到三角形邊長(zhǎng)為

1

4

，依此類推成等比數(shù)列，所形成的三角形的面積比是邊長(zhǎng)的平方比，亦為等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列求和后，運(yùn)用則

lim

n→∞

Sn=

a1

1-q

求解即可．

解答：解：∵正△A₁B₁C₁ 的邊長(zhǎng)是1，
∴面積是P1=

3

4

×12_，
取△A₁B₁C₁各邊的中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，則△A₂B₂C₂ 的邊長(zhǎng)為

1

2

，
其面積為P2=

3

4

×(

1

2

)2_，
再取△A₂B₂C₂ 各邊的中點(diǎn)A₃，B₃，C₃，則△A₃B₃C₃ 的邊長(zhǎng)為

1

4

，
其面積為P3=

3

4

×(

1

4

)2，
…
依此類推得Pn=

3

4

×[(

1

2

)n-1]2，
∵S_n=P₁+P₂+…+P_n，
∴S_n=

3

4

×12+

3

4

×(

1

2

)2+

3

4

×(

1

4

)2+…+

3

4

×[(

1

2

)n-1]2
=

3

4

{ [12+ (

1

2

)2+(

1

4

)2+…+[(

1

2

)n-1]2 }=

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n ]

1- 1 4

，
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3

4

×

1

1- 1 4

₌

3

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及無窮遞縮等比數(shù)列的公式，要熟練掌握，同時(shí)考查了計(jì)算求解能力，屬于中檔題．