三棱錐P－ABC中，AP＝AC,PB＝2，將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開(kāi)其展開(kāi)圖是一個(gè)直角梯形(如圖)．(1)求證：側(cè)棱PB⊥AC；(2)求側(cè)面PAC與底面ABC所成的角θ的余弦．

答案：
解析：

分析:(1)折疊與展開(kāi)是互逆過(guò)程，將直角梯形折成三棱錐時(shí)，⊥，⊥的關(guān)系不變，于是在三棱錐中有PB⊥AP，PB⊥CP，故PB⊥平面PAC，從而PB⊥AC；

(2)作PD⊥AC，則由三垂線定理知BD⊥AC，于是∠PDB是二面角P－AC－B的平面角，即∠PDB＝θ，再作AE⊥于E，則AE＝4且E是的中點(diǎn)，設(shè)＝＝AC＝x，CE＝＝y(tǒng)，在Rt△ACE中，則有，且由得2(x－y)＝x＋y．解得x＝3，y＝．由·AC＝·AE，得PD＝＝＝，由PB＝2，PD＝，BD＝，由余弦定理求得cosθ＝．


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如圖，在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，

求證：OD∥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年四川省成都市高三9月月考理科數(shù)學(xué)試題（解析版） 題型：解答題

本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大小．

 

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如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點(diǎn)，四點(diǎn)P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點(diǎn)為球O的球心

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年廣東省山一高二上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（14分）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小。

 

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