Question

設(shè)雙曲線F：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，F1，F2為雙曲線F的焦點(diǎn)．若雙曲線F存在點(diǎn)M，滿足

1

2

|MF1|=|MO|=|MF2|（O為原點(diǎn)），則雙曲線F的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  5

• C、

  6

• D、

  5

  -1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題設(shè)條件結(jié)合雙曲線性質(zhì)推導(dǎo)出|MF₁|=4a，|MO|=|MF₂|=2a，取OF₂的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，得到MN⊥F₁F₂，且ON=

c

2

，F(xiàn)₁N=

3

2

c，把x=

c

2

代入雙曲線F，求出MN=

b

2a

c2-4a2

，由此能求出雙曲線的離心率．

解答： 雙曲線F存在點(diǎn)M，滿足

1

2

|MF1|=|MO|=|MF2|（O為原點(diǎn)），
∴|MF₁|=4a，|MO|=|MF₂|=2a，
取OF₂的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，
則MN⊥F₁F₂，且ON=

c

2

，F(xiàn)₁N=

3

2

c，
把x=

c

2

代入雙曲線F，
得

c2

4a2

-

y2

b2

=1，
解得MN=|y|=

b

2a

c2-4a2

，
∵|MF₁|²=|F₁N|²+|MN|²，
∴16a²=

9

4

c2+

b2

4a2

(c2-4a2)，
整理，得e⁴+4e²-60=0，
解得e²=6，或e²=-10（舍），
∴e=

6

．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．