Question

已知曲線C：

x2

4

+

y2

9

=1，直線l：

x=2+t y=2-2t

（t為參數(shù)）
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
（2）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,三角函數(shù)的最值

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）由平方關(guān)系和曲線C方程寫出曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)t即可得直線l的普通方程；
（2）由曲線C的參數(shù)方程設(shè)曲線C上任意一點P的坐標，利用點到直線的距離公式求出點P直線l的距離，利用正弦函數(shù)求出|PA|，利用輔助角公式進行化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出|PA|的最大值與最小值．

解答： 解：（1）由題意得，曲線C：

x2

4

+

y2

9

=1，
所以曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），
因為直線l：

x=2+t y=2-2t

（t為參數(shù)），
所以直線l的普通方程為2x+y-6=0                …（5分）
（2）曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ），
則點P直線l的距離為d=

|4cosθ+3sinθ-6|

5

=

5 |4cosθ+3sinθ-6|

5

，
則|PA|=

d

sin30°

=

2 5

5

|4cosθ+3sinθ-6|=

2 5

5

|5sin（θ+α）-6|（其中α為銳角且tanα=

4

3

），
當sin（θ+α）=-1時，|PA|取得最大值，最大值為

22 5

5

，
當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為

2 5

5

   …（10分）

點評：本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，點到直線的距離公式，以及輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)等，比較綜合，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．