Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4．點(diǎn)M，N分別是AA₁，AB的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)CM與D₁N所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間向量及應(yīng)用

分析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB₁所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)C，M，N，D₁，再求向量CM，D₁N的坐標(biāo)，再由向量夾角公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB₁所在直線(xiàn)為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，2，0），M（2，0，2），N（1，0，0），D₁（2，2，4），

CM

=（2，-2，2），

D1N

=（-1，-2，-4），
則有cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM |•| D1N |

=

-2+4-8

4+4+4 • 1+4+16

=-

7

7

．
則直線(xiàn)CM與D₁N所成角的余弦值為

7

7

．
故答案為：

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間異面直線(xiàn)所成的角的大小，考查運(yùn)用向量法解題，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．