已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）利用已知條件找出解出、即得；（2）設直線方程，聯(lián)立方程組消去得到關于的方程，由求出的范圍；（3）設直線的方程為聯(lián)立方程組消去到關于的方程，利用、韋達定理、點到直線的距離公式求解.
試題解析：（1）依題意，，解得，故橢圓的方程為.
（2）如圖，依題意，直線的斜率必存在，

設直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
由韋達定理，，，
,
因為直線與橢圓相交，則，
即，解得或，
當為銳角時，向量，則，
即，解得，
故當為銳角時，.
如圖，

依題意，直線的斜率存在，設其方程為，，，由于，
，即，又，
          ①
聯(lián)立方程組，消去得，
由韋達定理得，，代入①得
，
令點到直線的距離為1，則，即，
，
整理得.
考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線：與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且，，四邊形面積S的求最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率．
（I）求橢圓的方程；（II）已知直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．求證：以線段為直徑的圓恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線C，直線過點且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準線過橢圓N： 的左焦點，以坐標原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設點A的橫坐標為x1，點C的橫坐標為x2，曲線M上點D的橫坐標為x1+2，求直線CD的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓方程為，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個頂點，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點，為過點且垂直軸的直線，點為直線與直線的交點，點為以為直徑的圓與直線的一個交點，求證：三點共線.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點、，若動點滿足．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線：的距離最小．

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