Question

（1）已知

1

C m 5

-

1

C m 6

=

7

10 C m 7

，求C₈^m；
（2）解方程C

x2-x 16

=C₁₆^5x-5；
（3）計算C₁₀⁰+C₁₁¹+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁰．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的組合數(shù)的算式，把算式分解，約分整理，得到關(guān)于m的一元二次方程方程，解方程得到兩個根，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)去掉不合題意的數(shù)字．
（2）把組合數(shù)分解，得到關(guān)于字母x的方程，是兩個方程，解兩個一元二次方程，得到四個結(jié)果，有兩個結(jié)果不合題意，舍去．
（3）本題所給的一系列組合數(shù)的加法運(yùn)算，遇到這種題目，一般考慮用組合數(shù)的性質(zhì)，把前兩項用組合數(shù)的性質(zhì)，得到一個組合數(shù)，再把得到的結(jié)果和第三項用組合數(shù)的性質(zhì)，以此類推，得到結(jié)果．

解答：解：（1）由已知得

m!(5-m)!

5!

-

m!(6-m)!

6!

=

7(7-m)!m!

10•7!

，
化簡得m²-23m+42=0，
解得m=2或21，
但0≤m≤5，故m=2．
∴

C

m 8

=

C

2 8

=

8×7

2×1

=28．
（2）原方程可化為x²-x=5x-5或x²-x=16-（5x-5），
即x²-6x+5=0或x²+4x-21=0，
解得x=1或x=5或x=-7或x=3，
經(jīng)檢驗x=5或x=-7不合題意，
故原方程的根為x=1或x=3．
（3）原式=（C₁₁⁰+C₁₁¹）+C₁₂²+…+C₁₀₀⁹⁰=（C₁₂¹+C₁₂²）+…+C₁₀₀⁹⁰
=（C₁₃²+C₁₃³）+…+C₁₀₀⁹⁰=

C

90 101

=

C

11 101

．

點評：本題是排列和組合數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)排列和組合的公式，寫出算式，通過加減乘運(yùn)算，得到結(jié)果，這類問題有一大部分是考查排列和組合的性質(zhì)的，本題是一個簡單的運(yùn)算．