Question

已知sinx+cosx=-1，則sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值為（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．±1

Answer 1

分析：可利用輔助角公式將sinx+cosx化為：sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=-1，從而求得x=2kπ-π或x=2kπ-

π

2

（k∈Z），分類討論即可；也可以將sinx+cosx=-1兩端平方，求得sinxcosx=0，分類討論即可．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=-1，
∴sin（x+

π

4

）=-

2

2

，
∴x+

π

4

=2kπ-

3π

4

或x+

π

4

=2kπ-

π

4

，k∈Z．
∴x=2kπ-π或x=2kπ-

π

2

．k∈Z
當(dāng)x=2kπ-π，cosx=-1，sinx=0，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1；
當(dāng)x=2kπ-

π

2

，cosx=0，sinx=-1，
∴sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x=-1．
綜上所述，sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值為-1．
故選C．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，關(guān)鍵在于利用輔助角公式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過分類討論的思想解決，屬于中檔題．