Question

函數(shù)f（x）=e^x+x-a（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當x∈[0，1]時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=

f(x)

，若曲線y=cos2x上 存在點（x₀，y₀），使得g（g（y₀））=y₀，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求參數(shù)的取值范圍，也就求函數(shù)f（x）在x∈[0，1]時最值問題；
（Ⅱ）根據(jù)條件求出y₀∈[-1，1]，得到a=e^b+b-b²，兩次求導，求出h（b）=e^b+b-b²的最小值，繼而求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+x-a，
∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1-a，
∵f（x）≥0恒成立，
∴1-a≥0，即a≤1，
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=

f(x)

，由（Ⅰ）知f（x）為增函數(shù)，
∴g（x）也為增函數(shù)，
∵曲線y=cos2x上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則y₀∈[-1，1]
∴y₀=0，a=1，y₀=1，a=e，
令y₀=b，
則a=e^b+b-b²，
設h（b）=e^b+b-b²
∴h′（b）=e^b+1-2b①
再設F（b）=e^b+1-2b
∴F′（b）=e^b-2，
當b=ln2時，①有最小值3-2ln2＞0，
∴h（b）為增函數(shù)，
∴a的取值范圍[1，e]．

點評：本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，觀察探究的能力，屬于考查能力的綜合題．