Question

（文）已知點D（1，

2

）在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，且雙曲線的一條漸近線的方程是

3

x+y=0．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（0，1）且斜率為k的直線l與雙曲線C有兩個不同交點，求實數k的取值范圍；
（3）設（2）中直線l與雙曲線C交于A、B兩個不同點，若以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，求實數k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）點D（1，

2

）代入雙曲線方程，結合且雙曲線的一條漸近線的方程是

3

x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線C的方程；
（2）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根的判別式，即可求實數k的取值范圍；
（3）存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點轉化為k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數關系求解實數k的值．

解答： 解：（1）由題知，有

1 a2 - 2 b2 =1 b a = 3

解得a2=

1

3

，b2=1
因此，所求雙曲線C的方程是

x2

1 3

-y2=1
（2）∵直線l過點（0，1）且斜率為k，
∴直線l：y=kx+1．
代入雙曲線方程得（3-k²）x²-2kx-2=0．
又直線l與雙曲線C有兩個不同交點，
∴3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0
解得k∈（-

6

，-

3

）∪（-

3

，

3

）∪（

3

，

6

）．
（3）設點A、B的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            
由（2）可得x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-2

3-k2

又以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，
則k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴

-2(1+k2)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，解得k=±1．
又k=±1滿足3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0，
∴所求實數k=±1．

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，訓練了利用直線斜率的關系判斷兩直線的垂直關系，是中檔題．