Question

給定橢圓C：，稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是．

（1）若橢圓C上一動點M₁滿足||+||=4，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；

（2）在（1）的條件下，過點P（0，t）（t＜0）作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2，求P點的坐標；

（3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點（m，m²），（n，n²）的直線的最短距離．若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 【解析】（1）由題意，，∴=，所以橢圓C的方程為．

其“伴隨圓”的方程為x²+y²=6；

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程為（2k²+1）x²+4tkx+2t²﹣4=0

∴由△=（4tk）²﹣8（2k²+1）（t²﹣2）=0得t²=4k²+2①，

由直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，可得，即t²=3（k²+1）②

由①②可得t²=6．

∵t＜0，∴t=﹣，∴P（0，﹣）；

（3）過兩點（m，m²），（n，n²）的直線的方程為，∴y=（m+n）x﹣mn，

∵m+n=﹣（0，π）），

∴，得xcosθ+ysinθ﹣3=0，

∴由于圓心（0，0）到直線xcosθ+ysinθ﹣3=0的距離為d==3．

當a²+b²≥9時，d_min=0，但，所以，等式不能成立；

當a²+b²＜9時，d_min=3﹣，由3﹣=﹣b得9+6b+b²=4a²+4b²．

因為a²=b²+2，所以7b²﹣6b﹣1=0，

∴（7b+1）（b﹣1）=0，∴b=1，a=．